题文

如图①所示，直线l1：y=3x+3与x轴交于B点，与直线l2交于y轴上一点A，且l2与x轴的交点为C（1，0）． （1）求证：∠ABC=∠ACB； （2）如图②所示，过x轴上一点D（﹣3，0）作DE⊥AC于E，DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点的坐标． （3）如图③所示，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P（P不同于A、C两点），过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ，在△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度；若变化，确定其变化范围．

题型：解答题  难度：偏难

答案

证明：（1）对于y=3x+3，令y=0，得3x+3=0，x=﹣1， ∴B（﹣1，0）． ∵C（1，0）， ∴OB=OC， ∴AO垂直平分BC， ∴AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB； 解：（2）∵AO⊥BC，DE⊥AC， ∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°， ∴∠1=∠2． ∵AB=AC， ∴AO平分∠BAC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3． 对于y=3x+3，当x=0时，y=3， ∴A（0，3）， 又∵D（﹣3，0）， ∴DO=AO． ∵∠AOB=∠DOF=90°， ∴△DOF≌△AOB（ASA）， ∴OF=OB， ∴F（0，1）． 设直线DE的解析式为y=kx+b， ∴， 解得， ∴y=x+1， 联立， 解得， 所以，点G（﹣，）； 解：（3）OM的长度不会发生变化，过P点作PN∥AB交BC于N点， 则∠1=∠Q，∠ABC=∠PNC， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠PNC=∠PCB， ∴PN=PC， ∵CP=BQ， ∴PN=BQ， ∵∠2=∠3， ∴△OBM≌△PNM（AAS）， ∴MN=BM． ∵PC=PN，PO⊥CN， ∴ON=OC， ∵BM+MN+ON+OC=BC， ∴OM=MN+ON=BC=1．

据专家权威分析，试题“如图①所示，直线l1：y=3x+3与x轴交于B点，与直线l2交于y轴上一点A..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，求一次函数的解析式及一次函数的应用，全等三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定求一次函数的解析式及一次函数的应用全等三角形的性质

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)