题文

如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M． （1）求证：△EGM为等腰三角形； （2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

解（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°， ∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°， 又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE， ∵△ACD≌△ABE（SAS）， ∴∠1=∠3， ∵∠BAC=90°， ∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠4+∠3=90° ∴FG⊥CD， ∵∠CMF+∠4=90°， ∴∠3=∠CMF， ∴∠GEM=∠GME， ∴EG=MG， ∴△EGM为等腰三角形． （2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG． 证明：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N， ∵BN⊥AB，∠ABC=45°， ∴∠FBN=45°=∠FBA． ∵FG⊥CD， ∴∠BFN=∠CFM=90°﹣∠DCB， ∵AF⊥BE， ∴∠BFA=90°﹣∠EBC，∠5+∠2=90°， 由（1）可得∠DCB=∠EBC， ∴∠BFN=∠BFA， 又∵BF=BF， ∴△BFN≌△BFA（ASA）， ∴NF=AF，∠N=∠5， 又∵∠GBN+∠2=90°， ∴∠GBN=∠5=∠N， ∴BG=NG， 又∵NG=NF+FG， ∴BG=AF+FG． 故答案为：BG=AF+FG．

据专家权威分析，试题“如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定全等三角形的性质

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：全等三角形的性质

• 全等三角形：
  两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
  全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
  ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
  ③有公共边的，公共边一定是对应边;
  ④有公共角的，角一定是对应角;
  ⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

• 全等三角形的性质：
  1.全等三角形的对应角相等。
  2.全等三角形的对应边相等。
  3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
  4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
  5.全等三角形的对应边上的中线相等。
  6.全等三角形面积相等。
  7.全等三角形周长相等。
  8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

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