题文

如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题： （1）求线段AB的长； （2）求⊙C的半径及圆心C的坐标； （3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵A（0，2），B（2，0） ∴OA=2，OB=2； Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB==4； （2）∵∠AOB=90°， ∴AB是⊙O的直径； ∴C的半径r=2； 过C作CE⊥y轴于E，则CE∥OB； ∴C是AB的中点， ∴CE是△AOB的中位线， 则OE=OA=1，CE=OB=，即C（，1）； 故⊙C的半径为2，C（，1）； （3）作OB的垂直平分线，交⊙C于M、N，交OB于D； 如图；连接OC；由垂径定理知：MN必过点C，即MN是⊙C的直径； ∴M（，3），N（，﹣1）； 在Rt△OMD中，MD=3，OD=，∴∠BOM=60°； ∵MN是直径，∴∠MON=90°，∠BON=30°； 由于MN垂直平分OB，所以△OBM、△OBN都是等腰三角形， 因此M、N均符合P点的要求； 故存在符合条件的P点：P1（，3），∠BOP1=60°； P2（，﹣1），∠BOP2=30°．

据专家权威分析，试题“如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，用坐标表示位置，用坐标表示平移，平面直角坐标系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定用坐标表示位置用坐标表示平移平面直角坐标系

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：用坐标表示位置

• 点的坐标的概念：
  点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
  平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

• 各象限内点的坐标的特征 ：
  点P(x，y)在第一象限；点P(x，y)在第二象限
  点P(x，y)在第三象限；点P(x，y)在第四象限
  
  坐标轴上的点的特征：
  点P(x，y)在x轴上y=0，x为任意实数