题文

已知如图a：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于点E、F． （1）图中有几个等腰三角形？且EF与BE、CF间有怎样的关系？

图a

（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图b，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？

图b

（3）若△ABC中，∠B的平分线BO与三角形外角∠ACD的平分线CO交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．如图c，这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？

图c

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）5个：△ABC，△AEF，△BEO，△OFC，△BOC； EF=2BE= 2CF（或EF=BE+CF）．理由如下： ∵BO平分∠EBC， ∴∠EBO=∠CBO． 又∵EF∥BC， ∴∠OBC=∠EOB， ∴∠EBC=∠BOB，即BE=OE． 又∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． ∴∠EBO=∠OBC=∠EOB=∠FCO=∠OCB=∠FOC， ∴EF=2BE=2CF（或EF=BE+CF）； （2）有，△BOE，△OCF； EF与BE，CF间的关系是：BF=BE+CF； （3）有，△BOE，△FCO； BE=EF+CF．理由如下： ∵EO∥BC， ∴∠EOB=∠OBC． ∵BO平分∠EBC， ∴∠EBO=∠OBC， ∴∠EBO=∠EOB． ∴BE=OE， ∴△BEO是等腰三角形， 又∵EO∥BC， ∴∠EOC=∠OCD． ∴CO平分∠ACD， ∴∠ACO=∠OCD， ∴∠FCO=∠FOC， ∴FC=OF， 故△CFO是等腰三角形． 而EO=BE，且EF+FO=EO， ∴BE=EF+CF．

据专家权威分析，试题“已知如图a：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义 ，平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定角平分线的定义 平行线的性质，平行线的公理

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。