题文

如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（，0），动点P从点O出发，沿折线OACB方向匀速运动，另一动点Q从点C出发，沿折线CBOA方向匀速运动． （1）求点A的坐标点和正方形AOBC的面积； （2）将正方形绕点O顺时针旋转45°，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积； （3）若P的运动速度是1个单位/每秒，Q的运动速度是2个单位/每秒，P、Q两点同时出发，当Q运动到点A 时P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在这样的t值，使△OPQ成为等腰三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：计算题  难度：偏难

答案

解：（1）连接AB，与OC交于点D 由△OCA为等腰Rt△，得AD=OD=OC=2 ∴点A的坐标为（2，2） 正方形AOBC的面积16 （2）旋转后可得OA'=OB=4 ∴A'C=4﹣4，而可知∠CA'E=90°，∠OCB=45° ∴△A'EC是等腰直角三角形 ∴A'E=A'C=4﹣4 ∴S四边形OA'EB=S△OBC﹣S△A'EC=16﹣16 （3）存在，从Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种： ①当Q点在BC上时，使OQ=QP，QM为OP的垂直平分线 则有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4﹣2t， ∴t=2（4﹣2t） ∴t= ∴Q（，﹣） ②当Q点在OB上时，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8﹣2t ∴t=8﹣2t ∴t= ∴Q（，﹣） ③当Q点在OA上时，使OP=PQ，t2﹣24t+96=0，（舍去），t=12﹣4 ∴Q（4，4）

据专家权威分析，试题“如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（，0），动点P从点O出发，..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，正方形，正方形的性质，正方形的判定，图形旋转  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定正方形，正方形的性质，正方形的判定图形旋转

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：正方形，正方形的性质，正方形的判定

• 正方形的定义：
  有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。