题文

在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：△ABD≌△ACE． （2）设∠BAC=α，∠BCE=β． ①如图1，当点D在线段BC上时，则α，β之间有怎样的数量关系？写出证明过程； ②当点D在线段CB的延长线上时，则α，β之间有怎样的数量关系？请在图2中画出完整图形并证明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）①α+β=180° 理由：∵△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠ACE， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B， ∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠BCE=180°， 即α+β=180°； ②当点D在线段CB的延长线上时，α=β． 理由：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE， 即α=β．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。