题文

如图，在△AFC中，AF=AC，B是CF的中点，AH平分∠CAE，作CD⊥AH于D． （1）证明：四边形ABCD是矩形． （2）若BD交AC于O，证明：OB∥AF且OB= 1 2 AF． （3）若使四边形ABCD是正方形，需添加一个条件，请直接写出该条件．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）在△AFC中， ∵AF=AC， ∴△ACF是等腰三角形， ∵B是CF的中点， ∴AB⊥FC，∠FAB=∠CAB， ∵AH是△AFC外角∠CAE的平分线， ∴∠EAH=∠CAH， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD= 1 2 ×180°=90°， 又∵AB⊥FC，CD⊥AH， ∴∠ABC=∠CDA=90°， ∴四边形ABCD为矩形； （2）∴∠EAC=∠AFC+∠ACF，AH是∠CAE的平分线，∠AFC=∠ACF， ∴∠EAH=∠AFC， ∴AD∥FB， ∵FB=BC，AD=BC， ∴AD=FB， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∴BD∥AF且BD=AF， ∴OB= 1 2 AF， ∴OB∥AF且OB= 1 2 AF； （3）给出正确条件即可． 例如，当AB= 1 2 FC时，四边形ABCD是正方形． ∵B是CF的中点， ∴BC= 1 2 FC， 又∵AB= 1 2 FC， ∴BC=AB， 又∵（1）四边形ABCD为矩形， ∴矩形ADCE是正方形．

据专家权威分析，试题“如图，在△AFC中，AF=AC，B是CF的中点，AH平分∠CAE，作CD⊥AH于D．（..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，矩形，矩形的性质，矩形的判定，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定矩形，矩形的性质，矩形的判定正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

• 矩形:
  是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

• 矩形的性质：
  1．矩形的4个内角都是直角；
  2．矩形的对角线相等且互相平分；
  3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
  4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
  5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
  6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

• 矩形的判定：
  ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
  ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
  ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
  ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
  矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。

• 黄金矩形:
  宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
  黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

考点名称：正方形，正方形的性质，正方形的判定

• 正方形的定义：
  有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
  特殊的长方形。
  四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
  有一组邻边相等的矩形是正方形。