如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD交BD于点E,⊙O的半径为4,∠BAD=60°,∠BCA=15°,则AE=______.-数学

题文

如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD交BD于点E,⊙O的半径为4,∠BAD=60°,∠BCA=15°,则AE=______.

题型:填空题  难度:中档

答案



连接OA、OC、OB,OC交于BD点F,
∵AC平分∠BAD交BD于点E,∠BAD=60°,
∴∠BAC=∠CAD=30°,
由圆周角定理知,弧BC=弧CD,∠BOC=60°,
∴BC=CD,∠CBD=∠BDC=30°,
又∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∠BOC=60°,
∵∠ACB=15°,
∴∠AOB=30°,∠ADF=15°,∠AOC=90°
∵OA=OC=4,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴AC=

42+42
=4

2

∵点C是弧BD的中点,
∴OC⊥BD,
∵∠CBD=30°,∠CBO=60°
∴∠OBF=∠CBF=30°,
∴△BFO≌△BFC,
∴OF=CF,即点F是OC的中点,
∵AO∥BD,
∴△CEF∽△CAO,且相似比为CF:CO=1:2,
∴CE:CA=1:2,
则AE=
1
2
AC=2

2

据专家权威分析,试题“如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD交BD于点E,⊙O的半径为4,..”主要考查你对  等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,等边三角形,三角形全等的判定,圆心角,圆周角,弧和弦,正多边形和圆(内角,外角,中心角,边心距,边长,周长,面积的计算)  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等腰三角形的性质,等腰三角形的判定等边三角形三角形全等的判定圆心角,圆周角,弧和弦正多边形和圆(内角,外角,中心角,边心距,边长,周长,面积的计算)

考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

  • 定义:
    有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质:
    1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
    2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
    7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定:
    1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
    3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称:等边三角形

  • 等边三角形定义:
    三条边都相等的三角形叫做等边三角形,“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
    如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形:
    1.三边长度相等;
    2.三个内角度数均为60度;
    3.一个内角为60度的等腰三角形。

  • 性质:
    ①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
    ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
    ③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
    ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
    ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

  • 判定方法:
    ①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
    ②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
    ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
    ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
    说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质与判定理解:
    首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
    其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。

    等比三角形的尺规做法:
    可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称:三角形全等的判定

  • 三角形全等判定定理:
    1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了
    三角形具有稳定性的原因。
    2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
    3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
    4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
    5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以:SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
    注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

  • 三角形全等的判定公理及推论:
    (1)“边角边”简称“SAS”
    (2)“角边角”简称“ASA”

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