题文

在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE=CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H， ①求证：△APF是等腰三角形；      ②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．

题型：解答题  难度：中档

答案

①证明：∵EF∥AD， ∴∠1=∠4，∠2=∠P， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∴∠4=∠P， ∴AF=AP， 即△APF是等腰三角形； ②AB=PC．理由如下： 证明：∵CH∥AB， ∴∠5=∠B，∠H=∠1， ∵EF∥AD， ∴∠1=∠3， ∴∠H=∠3， 在△BEF和△CDH中， ∵ ∠5=∠B ∠H=∠3 BE=CD ， ∴△BEF≌△CDH（AAS）， ∴BF=CH， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠H， ∴AC=CH， ∴AC=BF， ∵AB=AF+BF，PC=AP+AC， ∴AB=PC．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE=CD，EF∥AD交AB于F点，交..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。