题文

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于E，∠EBA= 1 2 ∠ACB，DE与AB相交于点F． （1）当点D与点C重合时（如图1），探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明； （2）当点D与点C不重合时（如图2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）猜想BE= 1 2 FD， 证明：如图，延长CA、BE相交于G， ∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∵∠EBA= 1 2 ∠ACB， ∴∠EBA=22.5°， ∴∠GBC=67.5°， ∴∠G=67.5°， ∴∠G=∠GBC， ∴CG=BC， ∵CE⊥BE， ∴∠ACE= 1 2 ∠ACB，BE= 1 2 BG， ∴∠ACE=∠EBA． 在△ABG和△ACF中 ∠GAB=∠FAC AB=AC ∠ABG=∠ACF ， ∴△ABG≌△ACF（ASA）， ∴BG=CF ∴BE= 1 2 FC， 即BE= 1 2 FD． （2）成立， 理由是：过D作DH∥CA交BA于M，交BE的延长线于H， 则∠BMD=∠A=90°，∠MDB=∠C=45°， ∴∠MBD=∠MDB=45°， ∴MB=MD， ∵∠EBA= 1 2 ∠ACB， ∴∠EBA= 1 2 ∠MDB=22.5°， ∴∠HBD=∠H=67.5°， ∴DB=DH， ∵DE⊥BE， ∴∠HDE= 1 2 ∠HDB，BE= 1 2 BH， ∴∠HBM=∠FDM， 在△HMA和△FMD中 ∠BMH=∠DMF MB=MD ∠HBM=∠FDM ∴△HMA≌△FMD（ASA） ∴BH=DF， ∴BE= 1 2 FD．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。