题文

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点． （1）当点D在BC的什么位置时，DE=DF？并证明． （2）在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？并请给予写出． （3）过C点作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF， 证明：∵D为BC中点， ∴BD=CD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90°， ∵在△BED和△CFD中 ∠B=∠C ∠DEB=∠DFC BD=CD ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF． （2） 有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD， ∵由（1）知△BED≌△CFD， ∴DE=DF，BE=CF， ∵AB=AC， ∴AE=AF， 在△AED和△AFD中 AD=AD AE=AF DE=DF ， ∴△AED≌△AFD（SSS）， ∵在△ADB和△ADC中 AB=AC AD=AD BD=CD ∴△ADB≌△ADC（SSS）， ∴有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD； （3）CG=DE+DF 证明：连接AD， ∵S三角形ABC=S三角形ADB+S三角形ADC， ∴ 1 2 AB×CG= 1 2 AB×DE+ 1 2 AC×DF， ∵AB=AC， ∴CG=DE+DF．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。