题文

已知：如图，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M．请你通过观察和测量，猜想线段AB、AC之和与线段AM有怎样的数量关系，并证明你的结论． 猜想：______． 证明：

题型：解答题  难度：中档

答案

猜想：AB+AC=2AM．（1分） 证明：过点C作CE∥AB，CE与AM的延长线交于点E．（2分） 则∠ECD=∠B，∠E=∠BAD． （两直线平行，内错角相等）（3分） ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． （角平分线定义） ∴∠E=∠CAD．（等量代换） ∴AC=EC．（等角对等边）（4分） 又CM⊥AD于M， ∴AM=ME，即AE=2AM． （等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合） （5分） ∵AD=AB，∴∠B=∠ADB．（等边对等角） 又∠EDC=∠ADB，（对顶角相等）∴∠ECD=∠EDC．（等量代换） ∴ED=EC．（等角对等边）（6分） ∴AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE．（等量代换） ∴AB+AC=2AM．（7分）

据专家权威分析，试题“已知：如图，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M．请你通过观察和测量，猜..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。