题文

在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，它们所在的直线相交于H． （1）若∠BAC=45°（如图①），求证：AH=2BD； （2）若∠BAC=135°（如图②），（1）中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2BD． ∵CE⊥AB，∠BAC=45°， ∴∠ECA=45°． ∴AE=CE． 又AD⊥BC，CE⊥AB， 可得∠EAH=∠ECB， 在△AEH和△CEB中， ∠EAH=∠ECB AE=CE ∠AEH=∠BEC ∴△AEH≌△CEB（ASA）． ∴AH=BC． ∴AH=2BD． （2）答：（1）中结论依然成立． 所画图形如图所示．延长BA交HC于E． ∵∠BAC=135°， ∴∠CAE=45°． ∵AE⊥HC， ∴∠ACE=∠CAE=45°． ∴AE=CE． ∵HD⊥BC，BE⊥HC， 可得∠B=∠H． 在Rt△BEC和Rt△HEA中， ∠B=∠H ∠EC=∠HEA CE=AE ∴Rt△BEC≌Rt△HEA（AAS）． ∴AH=BC． 又BC=2BD， ∴AH=2BD．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，它们所在的直线相交于H．（1）若∠BAC..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。