题文

已知：如图，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点． （1）求证：∠AFB=90°； （2）求证：△ADC≌△AEC； （3）连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵BA=BC，F是AC的中点（已知）， ∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）．（1分） ∴∠AFB=90°（垂直的定义）．（1分） （2）证明：∵AE⊥BC（已知）， ∴∠AEC=90°（垂直的定义）． ∵∠ADC=90°（已知）， ∴∠ADC=∠AEC（等量代换）．（1分） ∵DC∥AB（已知）， ∴∠DCA=∠CAB（两直线平行，内错角相等）． ∵BA=BC（已知）， ∴∠ECA=∠CAB（等边对等角）． ∴∠DCA=∠ECA（等量代换）．（1分） 在△ADC和△AEC中， ∠ADC=∠AEC(已证) ∠DCA=∠ECA(已证) AC=AC(公共边) ∴△ADC≌△AEC（AAS）．（1分） （3）DE与BF平行．（1分） 证明：设DE交AC于点H， ∵△ADC≌△AEC（已证）， ∴AD=AE，∠DAH=∠EAH（全等三角形对应边相等、对应角相等）．（1分） ∴BH⊥DE（等腰三角形的三线合一）．（1分） ∴∠AHE=90°（垂直的定义） ∵∠AFB=90°（已证）， ∴∠AFB=∠AHE（等量代换）．（1分） ∴DE∥BF（同位角相等，两直线平行）．

据专家权威分析，试题“已知：如图，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。