题文

（1）如图（一），P是∠AOB平分线上一点，试过点P画一条直线，交角的两边于点C、D，使△OCD是等腰三角形，且CD是底边； （2）若点P不在角平分线上，如图（二），如何过点P画直线与角的两边相交组成等腰三角形？ （3）问题（2）中能画出几个满足条件的等腰三角形？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图，直线CD为过点P的一条垂线且垂足为P，则△OCD是等腰三角形． ∵OP为∠AOB的角平分线 ∴∠AOP=∠BOP ∵∠CPO=∠DPO=90°，OP=OP ∴△COP≌△DOP（ASA） ∴OC=OD ∴△OCD是等腰三角形． （2）如图，过点O作∠AOB的角平分线OD，过点P作PD⊥OD于点D，延长交OA，OB于点M，N，则△OMN为等腰三角形． ∵OD为∠AOB的角平分线 ∴∠AOD=∠BOD ∵∠MPO=∠NPO=90°，OD=OD ∴△MOD≌△NOD（ASA） ∴OM=ON ∴△OMN是等腰三角形． （3）应该可画3个． ①过P作∠AOB中平分线的垂线，交OA，OB于M，N，则△OMN是等腰三角形． ②过P作OA垂线，交OA，OB于E，F，在EA上作EG=OE，连FG，过P作FG平行线，交OA，OB于M，N，则△OMN是等腰三角形． ③过P作OB垂线，交OA，OB于E，F，在FB上作FG=OF，连EG，过P作EG平行线，交OA，OB于M，N，则△OMN是等腰三角形． 所以有三个这样的等腰三角形．

据专家权威分析，试题“（1）如图（一），P是∠AOB平分线上一点，试过点P画一条直线，交角的两..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。