题文

在平面直角坐标系中，已知x轴上两个点A（2m-6，0），B（4，0）分别在原点两侧，且A、B两点间的距离小于7个单位长度． （1）求m的取值范围； （2）C是AB的中点且为整点（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），若D为整点，当△BCD为等腰直角三角形时，求出点D的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵A（2m-6，0），B（4，0）， ∴AB=|2m-6-4|=|2m-10|． ∵A、B两点间的距离小于7个单位长度， ∴|2m-10|＜7， ∴-7＜2m-10＜7， ∴ 3 2 ＜m＜ 17 2 ， 又∵点A（2m-6，0），B（4，0）分别在原点两侧， ∴2m-6＜0， ∴m＜3， ∴ 3 2 ＜m＜3； （2）∵C是AB的中点且为整点， ∴C点横坐标为： 2m-6+4 2 =m-1，且m-1为整数， ∴m为整数， 由（1）知 3 2 ＜m＜3， ∴m=2， ∴C（1，0），BC=4-1=3． 当△BCD为等腰直角三角形时，分三种情况： ①如果∠DCB=90°，DC=BC，则D1（1，3），D2（1，-3）； ②如果∠DBC=90°，DB=CB，则D3（4，3），D4（4，-3）； ③如果∠CDB=90°，CD=BD，则D在BC的垂直平分线上，则D点的横坐标为： 4+1 2 = 5 2 ，不是整数，不合题意，舍去． 综上，可知所求点D的坐标为：D1（1，3），D2（1，-3），D3（4，3），D2（4，-3）．

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，已知x轴上两个点A（2m-6，0），B（4，0）分别在..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，用坐标表示位置  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定用坐标表示位置

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：用坐标表示位置

• 点的坐标的概念：
  点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
  平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

• 各象限内点的坐标的特征 ：
  点P(x，y)在第一象限；点P(x，y)在第二象限
  点P(x，y)在第三象限；点P(x，y)在第四象限
  
  坐标轴上的点的特征：
  点P(x，y)在x轴上y=0，x为任意实数
  点P(x，y)在y轴上x=0，y为任意实数
  点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）。