题文

如图，点F是△ABC的AC边中点，过点A作BC的平行线，与∠ABC的平分线相交于点D，E为BD的中点． 试探究：（1）AE与BD的位置关系，并给予证明； （2）EF、AB、BC之间的数量关系，并给予证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）AE⊥BD； 证明：∵AD∥BC， ∴∠D=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， 则∠D=∠ABD， ∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形， 又∵E是BD的中点， ∴AE⊥BD（三线合一）； （2）EF= 1 2 （BC-AB）； 证明：延长AE交BC于点G，（或延长DF）（5分） 由（1）知∠D=∠EBG， ∵E是BD中点， ∴BE=DE， 又∵∠AED=∠GEB， ∴△AED≌△GEB（ASA）， ∴AD=GB，AE=GE， 又∵F为AC中点， ∴EF是△ACG的中位线， 则EF= 1 2 GC， ∵GC=BC-GB=BC-AD，由（1）知AD=AB， ∴GC=BC-AB， ∴EF= 1 2 （BC-AB）．

据专家权威分析，试题“如图，点F是△ABC的AC边中点，过点A作BC的平行线，与∠ABC的平分线..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。