题文

画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF． （2）在所画图中， ①线段OE与CD之间有怎样的数量关系：______． ②求证：△CDF为等腰直角三角形．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）根据题意要求：画∠AOB的平分线OP，作线段CD的垂直平分线EF； （2）①OE= 1 2 CD．（4分） ②方法一：∵EF是线段CD的垂直平分线， ∴FC=FD，（5） ∵△COD为直角三角形，E为CD的中点， ∴OE=CE= 1 2 CD， ∴∠COE=∠ECO． 设CD与OP相交于点G， ∵∠EOF=45°-∠COE， ∠EFO=90°-∠EGF=90°-（45°+∠ECO）=45°-∠ECO， ∴∠EOF=∠EFO，EF=OE．（6分） 又CE=OE=EF，∠CEF=90°， ∴∠CFE=45°，同理∠DFE=45°； ∴∠CFD=90°，△CDF为等腰直角三角形．（7分） 方法二：过点F作FM⊥OA、FN⊥OB，垂足分别为M、N．（5分） ∵OP是∠AOB的平分线， ∴FM=FN． 又EF是CD的垂直平分线， ∴FC=FD． ∴Rt△CFM≌Rt△DFN（HL），∠CFM=∠DFN．（6分） 在四边形MFNO中，由∠AOB=∠FMO=∠FNO=90°，得∠MFN=90°， ∴∠CFD=∠CFM+∠MFD=∠DFN+∠MFD=∠MFN=90°， ∴△CDF为等腰直角三角形．（7分）

据专家权威分析，试题“画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．（1）尺规作图（..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。