题文

如图，在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，且∠BAP=70°，∠ABP=40°， （1）求证：△ABP是等腰三角形； （2）连接PC，当∠PCB=30°时，求∠PBC的度数．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：在△PAB中，∵∠BAP=70°，∠ABP=40°， ∴∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=70°． ∴∠APB=∠BAP=70°． ∴AB=BP，即△ABP是等腰三角形． （2）过点A作AD⊥BC于D，交CP延长线于O，连接OB，过点B作BE⊥CP于E，则点E在CO延长线上， 即AD是等腰三角形ABC底边上的高， ∴AD是边BC的垂直平分线， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=30°， ∵BE⊥CE， ∴∠CEB=90°， ∴∠EBC=90°-30°=60°， ∴∠OBE=60°-30°=30°=∠OBD， 在△OEB和△ODB中 ∠OEB=∠ODB=90° ∠EBO=∠DBO BO=BO ∴△OEB≌△ODB（AAS）， ∴OD=OE，BD=BE， ∵∠BEC=∠ADB=90°， ∴在Rt△ABD和Rt△PBE中 AB=BP BD=BE ， ∴Rt△ABD≌Rt△PBE（HL）， ∴∠BAO=∠BPO，AD=PE， ∵OE=OD， ∴AO=PO， 在△AOB和△POB中 AB=BP ∠BAO=∠BPO AO=OP ∴△AOB≌△POB（SAS）， ∴∠ABO=∠PBO= 1 2 ∠ABP= 1 2 ×40°=20°， ∴∠PBC=30°-20°=10°．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，且∠BAP=70°，∠ABP=40°，..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。