题文

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）． （1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E． ①求证：△ABD∽△DCE； ②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． （2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由； ②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°． 由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC． 推出△ABD∽△DCE． ②分三种情况： （ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2． （ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE， 又AD=DE，知△ABD≌△DCE． 所以AB=CD=2，故BD=CE=2 2 -2， 所以AE=AC-CE=4-2 2 ． （ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C， 故∠ADC=∠AED=90°． 所以DE=AE= 1 2 AC=1． （2）①存在（只有一种情况）． 由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°． 由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°． 从而推出∠ADC=∠DE′A．证得△ADC∽△AE′D． 所以 AC DC = AD E′D ，又AD=DE′，所以DC=AC=2． ②不存在． 因为D和B不重合， 所以∠AED＜45°，∠ADE=45°， ∠DAE＞90度． 所以AD≠AE， 同理可得：AE≠DE．

据专家权威分析，试题“在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠A..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。