题文

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D． （1）请你写出图中所有的等腰三角形； （2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由． （3）如果BC=10，求AB+AE的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC． （2）AD与BE垂直． 证明：由BE为∠ABC的平分线， 知∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE， ∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合． ∴A、D是对称点， ∴AD⊥BE． （3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB， ∴AE=DE， 在Rt△ABE和Rt△DBE中 AE=DE BE=BE ∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）， ∴AB=BD， 又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴∠C=45°，又ED⊥BC， ∴△DCE为等腰直角三角形， ∴DE=DC， 即AB+AE=BD+DC=BC=10．

据专家权威分析，试题“如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。