题文

已知：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=DC，∠BCD=120°，将直角三角板PMN的30°角的顶点P与点A重合，旋转三角板PMN，在旋转过程中，三角板PMN的直角边PM与直线BC交于点E，斜边PN与直线DC交于点F，连接EF． （1）当E、F分别在线段BC、CD上时，（如图①），求证：EF=BE+DF； （2）当E、F分别在直线BC、CD上时，（如图②、图③），线段EF、BE、DF之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）延长CD到H点，使DH=BE，连接AH， ∵∠BAD=60°，∠BCD=120°， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠ADF+∠ADH=180°， ∴∠ADH=∠B， ∵AD=AB，DH=BE， ∴在△ADH和△ABE中， DH=BE ∠ADH=∠ABE AD=AB ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AH=AE，∠HAD=∠EAB， ∵∠DAB=60°，∠FAE=30°， ∴∠EAB+∠DAF=30°， ∴∠DAF+∠HAD=30°，即∠HAF=30°， ∴在△HAF和△EAF中， AH=AE ∠HAF=∠EAF AF=AF ， ∴△HAF≌△EAF（SAS）， ∴HF=EF， ∵HF=HD+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， （2）如图②，BE=EF+DF， 如图③，DF=EF+BE．

据专家权威分析，试题“已知：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=DC，∠BCD=120°，将直..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。