题文

在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点B作∠CBE=∠A，BE与射线CA相交于点E，与射线CD相交于点F． （1）如图，当点E在线段CA上时，求证：BE⊥CD； （2）如果BE=CD，那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论； （3）如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵∠CBE=∠A， ∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA，即：∠CBA=∠BEC， ∵∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴CD=BD， ∴∠CBA=∠DCB， ∴∠DCB=∠BEC， ∵∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠BEC+∠ACD=90°， ∴BE⊥CD； （2）线段AC与BC之间的数量关系是 BC AC = 1 2 （AC=2BC）， ∵∠CBE=∠A，∠BCE=∠ACB， ∴△BCE∽△ACB， ∴ BC AC = BE AB ， ∵BE=CD， CD AB = 1 2 ， ∴ BC AC = 1 2 ． （3）∵△BDF是等腰三角形，∠BFD=90°， ∴∠BDF=45°． ①当点E在线段CA上时，∠A= 1 2 ∠BDF=22.5°；（2分） ②当点E在线段CA延长线上时，∠BAC= 180°-∠CDA 2 = 135° 2 =67.5°．（2分）

据专家权威分析，试题“在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点B作∠CBE=∠A，BE与射线CA相..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。