题文

已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出各内角的度数．（不止1个哟!）

题型：解答题  难度：中档

答案

一共有4种可能如下： ①△ABC是等腰三角形，AB=AC，线段AD是过定点A的， 根据题意，由于△ABD、△ACD是等腰三角形，且AD=BD，AD=CD， 那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C， 利用三角形内角和定理，可知∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°， 解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∠BAC=90°； ②如图所示，①△ABC是等腰三角形，AB=AC，线段AD是过定点A的， 根据题意，由于△ABD、△ACD是等腰三角形，且AB=BD，AD=CD， 那么有∠B=∠C，∠DAC=∠C，∠BAD=∠BDA，所以∠BDA=2∠C， 根据∠B+∠C+∠BAC=180°，可得2∠B+3∠B=180°， 解得∠B=36°，则有∠C=36°，∠BAC=108°； ③如图所示，①△ABC是等腰三角形，AB=AC，线段BD是过顶点B的， 根据题意，由于△ABD、△BCD是等腰三角形，且AD=BD，BD=BC， 那么有∠ABC=∠C，∠ABD=∠A，∠BDC=∠C， 利用外角性质有∠BDC=2∠A，再利用三角形内角和定理可得5∠A=180°， 解得∠A=36°，则∠ABC=∠C=72°； ④如图所示，①△ABC是等腰三角形，AB=AC，线段BD是过顶点B的， 根据题意，由于△ABD、△BCD是等腰三角形，且AD=BD，BC=CD， 那么有∠ABC=∠C，∠ABD=∠A，∠DBC=∠CDB， 根据外角性质有∠BDC=2∠A，再结合三角形内角和定理有7∠A=180°， 解得∠A=（ 180 7 ）°，从而易求∠ABC=∠C=（ 540 7 ）°．

据专家权威分析，试题“已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。