题文

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA； （3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=3． 即得∠D=∠ABF． ∵AF⊥AE，∴∠EAF=∠BAD=90°． 又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE， ∴∠DAE=∠BAF． 于是，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF， 得△DAE∽△BAF．（1分） ∴ AD AB = DE BF ． 由DE=x，BF=y，得 3 4 = x y ，即得y= 4 3 x．（2分） ∴y关于x的函数解析式是y= 4 3 x，0＜x＜4．（3分） （2）∵AD=BF，AD=BC，∴BF=BC． 在矩形ABCD中，AB∥CD，∴ FG GE = FB BC =1．即得FG=EG． 于是，由∠EAF=90°，得AG=FG．∴∠FAG=∠AFG． ∴∠AFE=∠DAE．（4分） 于是，由∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，得△AEF∽△DEA．（5分） （3）当点E在边CD上移动时，△AEG能成为等腰三角形． 此时，①当AG=EG时，DE= 9 4 ；（6分） ②当AE=GE时，DE= 3 2 ；（7分） ③当AG=AE时，DE= 7 8 （8分）

据专家权威分析，试题“如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E与点C..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。