题文

已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F． ①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系． ②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？ ③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下： ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， 又∠B、∠C的平分线交于O点， ∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB， ∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC， ∴OE=BE，OF=CF， ∴EF=OE+OF=BE+CF． 又AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC， ∴EF=BE+CF=2BE=2CF； （2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF； 第一问中的EF与BE，CF的关系是：EF=BE+CF． （3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE-CF，理由如下： ∵EO∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延长线上的一点） 又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线 ∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCG， ∴∠EOB=∠EBO， ∴BE=OE， ∠FCO=∠FOC， ∴CF=FO， 又∵EO=EF+FO， ∴EF=BE-CF．

据专家权威分析，试题“已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。