题文

如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明； （3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）△ABC是等腰直角三角形．理由如下： 在△ADC与△BEC中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC， ∴△ADC≌△BEC（SAS）， ∴AC=BC，∠DCA=∠ECB． ∵AB=2AD=DE，DC=CE， ∴AD=DC， ∴∠DCA=45°， ∴∠ECB=45°， ∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°． ∴△ABC是等腰直角三角形． （2）DE=AD+BE．理由如下： 在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，DC=EB． ∴DC+CE=BE+AD， 即DE=AD+BE． （3）DE=BE-AD．理由如下： 在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，DC=EB． ∴DC-CE=BE-AD， 即DE=BE-AD．

据专家权威分析，试题“如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．（1）判断△ABC的..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。