题文

如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs． （1）Q点的坐标为______（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？ （3）记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）（2+ 3 5 x，4- 4 5 x）． （2）由题意，得P（5-x，0），0＜x≤5 由勾股定理 求得PQ2=（ 8 5 x-3）2+（4- 4 5 x）2 AP2=（3-x）2+42 若AQ=AP，则x2=（3-x）2+42，解得x= 25 6 若PQ=AP 则（ 8 5 x-3）2+（4- 4 5 x）2=（3-x）2+42 即 11 5 x2-10x=0，解得x1=0（舍去），x2= 50 11 经检验，当x= 25 6 或x= 50 11 时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形． （3）设AB、BO的中点分别为点M、N，则点G随点P、Q运动所形成的图形是线段MN 设MN，PQ相交于点G′，过点P作PK∥AO交AB于点K ∴PK∥AO∥MN ∴△A0B∽△KPB∽△MNB． ∵AB=OB ∴BK=BP=AQ，BM=BN ∴BK-BM=AQ-BM， BK-BM=AQ-AM 即KM=QM ∴PG′=QG′ ∴G′是PQ的中点 即点G′与点G重合． ∴点G随点P、Q运动所形成的图形是△OBA的中位线MN．

据专家权威分析，试题“如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。