题文

如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于另一点Q，如果QP=QO，则∠OCP=______．

题型：填空题  难度：中档

答案

①根据题意，画出图（1）， 在△QOC中，OC=OQ， ∴∠OQC=∠OCP， 在△OPQ中，QP=QO， ∴∠QOP=∠QPO， 又∵∠AOC=30°， ∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°， 在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°， 即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°， 整理得，3∠OCP=120°， ∴∠OCP=40°． ②当P在线段OA的延长线上（如图2） ∵OC=OQ， ∴∠OQP=（180°-∠QOC）× 1 2 ①， ∵OQ=PQ， ∴∠OPQ=（180°-∠OQP）× 1 2 ②， 在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③， 把①②代入③得： 60°+∠QOC=∠OQP， ∵∠OQP=∠QCO， ∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60°+∠QOC）=180°， ∴∠QOC=20°，则∠OQP=80° ∴∠OCP=100°； ③当P在线段OA的反向延长线上（如图3）， ∵OC=OQ， ∴∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）× 1 2 ①， ∵OQ=PQ， ∴∠P=（180°-∠OQP）× 1 2 ②， ∵∠AOC=30°， ∴∠COQ+∠POQ=150°③， ∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④， ①②③④联立得 ∠P=10°， ∴∠OCP=180°-150°-10°=20°． 故答案为：40°、20°、100°．

据专家权威分析，试题“如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。