如图,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与⊙O相交于另一点Q,如果QP=QO,则∠OCP=______.-数学
题文
如图,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与⊙O相交于另一点Q,如果QP=QO,则∠OCP=______.![]() |
答案
①根据题意,画出图(1), 在△QOC中,OC=OQ, ∴∠OQC=∠OCP, 在△OPQ中,QP=QO, ∴∠QOP=∠QPO, 又∵∠AOC=30°, ∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°, 在△OPQ中,∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°, 即(∠OCP+30°)+(∠OCP+30°)+∠OCP=180°, 整理得,3∠OCP=120°, ∴∠OCP=40°. ![]() ②当P在线段OA的延长线上(如图2) ∵OC=OQ, ∴∠OQP=(180°-∠QOC)×
∵OQ=PQ, ∴∠OPQ=(180°-∠OQP)×
在△OQP中,30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③, 把①②代入③得: 60°+∠QOC=∠OQP, ∵∠OQP=∠QCO, ∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2(60°+∠QOC)=180°, ∴∠QOC=20°,则∠OQP=80° ∴∠OCP=100°; ![]() ③当P在线段OA的反向延长线上(如图3), ∵OC=OQ, ∴∠OCP=∠OQC=(180°-∠COQ)×
∵OQ=PQ, ∴∠P=(180°-∠OQP)×
∵∠AOC=30°, ∴∠COQ+∠POQ=150°③, ∵∠P=∠POQ,2∠P=∠OCP=∠OQC④, ①②③④联立得 ∠P=10°, ∴∠OCP=180°-150°-10°=20°. 故答案为:40°、20°、100°. ![]() |
据专家权威分析,试题“如图,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠..”主要考查你对 等腰三角形的性质,等腰三角形的判定 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
等腰三角形的性质,等腰三角形的判定
考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定
- 定义:
有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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