题文

如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N． （1）试找出图中所有的等腰三角形，请直接写出来； （2）若MD=2cm，求DC的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）△ADC，△AMB，△BNC，△MNP，△ABE．理由如下： ∵∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分别是BC，AB边上的高 ∴∠DAC=45°， 又∵∠ACB=45° ∴△ADC为等腰三角形． ∵∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N ∴∠ABM=30°， 又∵∠BAM=30° ∴△AMB为等腰三角形． 由题意可知∵∠NBC=∠NCB=30° ∴△BNC为等腰三角形． ∠PMN=∠MNP=60° ∴△MNP为等腰三角形． ∵∠ABE=30°，∠BAC=75° ∴∠BEA=75° ∴△ABE为等腰三角形． （2）在直角三角形BDM中， ∵MD=2cm，∠MBD=30° ∴BM=4cm 在等腰△AMB中，BM=AM 则AD=AM+MD=6cm， 在等腰直角三角形ADC中 AD=DC 则DC=6cm．

据专家权威分析，试题“如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分别是BC、AB边..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。