题文

如图1，是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CD′E′叠放在一起． （1）操作：固定△ABC，将△CD′E′绕点C顺时针旋转得到△CDE，连接AD、BE，如图2．探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试说明理由； （2）操作：固定△ABC，若将△CD′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，如图3．探究：在图3中，除△ABC和△CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论并说明理由； （3）探究：如图4，在（2）的条件下，将△PQR的顶点P移动至F点，求此时QH的长度．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）BE=AD 证明：由题意可得，BC=AC，CE=CD， ∵∠BCE+∠ACE=60°∠ACE+∠ACD=60° ∴∠BCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD， ∴BE=AD． （2）△HQC为等腰三角形 证明：因为∠FCB=30°， 所以∠ACF=30°， 又因为∠RQP=60°， 所以∠QHC=∠HCQ=30°， 所以△HQC为等腰三角形； （3）由题意得，AF=2，在Rt△AFG中，FG= 3 ，所以GR=3- 3 ， 在Rt△GRH中，RH=2（3- 3 ）， 所以HQ=3-2（3- 3 ）=2 3 -3

据专家权威分析，试题“如图1，是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CD′E′叠放在一..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。