题文

（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的大小；

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）如图7，∵ △BOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，                  ∴ OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°∴ ∠4=∠5                 又∵∠4+∠5=∠2=60°,    ∴ ∠4=30°                 同理，∠6=30°. ∵ ∠AEB=∠4+∠6       ∴ ∠AEB=60°          （2）如图8.                               ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， ∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°，             又∵OD=OA, ∴ OD=OB，OA=OC， ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7.              ∵ ∠DOB=∠1+∠3，∠AOC=∠2+∠3，   ∴∠DOB=∠AOC.              ∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,  ∴ 2∠5=2∠6， ∴ ∠5=∠6.               又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6， ∴ ∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2， ∴ ∠AEB=60°

据专家权威分析，试题“（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作..”主要考查你对  等边三角形，三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形三角形的内角和定理

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。