题文

如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，DG∥AB，延长AB到E，使BE=CD，连结DE交BC于F。

（1）求证：DF=EF； （2）若△ABC的边长为a，BE的长为b，且a、b满足，求BF的长； （3）若△ABC的边长为5，设CD=x，BF=y，求y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵ △ABC是等边三角形                     ∴∠A=∠B=60°                   又 ∵ DG∥AB                ∴∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠B=60°               且∠GDF=∠E                 ∴△CDG是等边三角形                  ∴ DG=CD=BE                  在△DGF和△EBF中                                 ∴△DGF≌△EBF（AAS）              ∴DF=EF （2）解：由，得（a-5）2+（b-3）2=0                  ∵（a-5）2 ≥ 0 ，（b-3）2 ≥ 0                 ∴（a-5）2=0 ，（b-3）2=0                 ∴ a=5，b=3 ，即：BC=5，CG=BE=3                 又∵ △DGF≌△EBF，∴ BF=GF                  ∴ （3）解：∵ CD=x，BF=y ，BC=5               又∵                ∴所求的解析式               自变量x的取值范围是0＜x＜5。

据专家权威分析，试题“如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，DG∥AB，延长..”主要考查你对  等边三角形，有理数的乘方，求一次函数的解析式及一次函数的应用，全等三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形有理数的乘方求一次函数的解析式及一次函数的应用全等三角形的性质

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：有理数的乘方

• 有理数乘方的定义：
  求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
  2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
  ①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
  ②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。

• 乘方的性质：
  乘方是乘法的特例，其性质如下：
  （1）正数的任何次幂都是正数；
  （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
  （3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
  （4）a²是一个非负数，即a²≥0。

• 有理数乘方法则：
  ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
  ②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³