题文

如图，正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重合部分的面积为△ABC面积的，无论绕点O怎样旋转，重合部分都等于△OAB的面积。 连接OB、OC ∴S△OBC=S△ABC ∵∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30° 当∠DOE=120°时 扇形ODE的两条半径OD、OE分别与OB、OC重合时，重合部分的面积为S△OBC 当OD、OE不与OB、OC重合时，设OD交AB于点G，OE交BC于点H 则∠BOG=∠COH，OB=OC，∠OBG=∠OCH=30° ∴△OBG≌△OCH ∴S△OBG+S△OBH=S△OCH+S△OBH 即S四边形OGBH=S△OBC=S△ABC。

据专家权威分析，试题“如图，正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要..”主要考查你对  等边三角形，全等三角形的性质，扇形面积的计算   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形全等三角形的性质扇形面积的计算

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：全等三角形的性质

• 全等三角形：
  两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
  全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
  ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
  ③有公共边的，公共边一定是对应边;
  ④有公共角的，角一定是对应角;
  ⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

• 全等三角形的性质：
  1.全等三角形的对应角相等。
  2.全等三角形的对应边相等。
  3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
  4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
  5.全等三角形的对应边上的中线相等。
  6.全等三角形面积相等。
  7.全等三角形周长相等。
  8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

•  

考点名称：扇形面积的计算

• 扇形：
  一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。
  显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
  扇形面积公式：
  (其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。)
  设半径R,
  1.已知圆心角弧度α（或者角度n）
  面积S=α/(2π)·πR2=αR2/2
  S=(n/360)·πR2
  2.已知弧长L：
  面积S=LR/2