题文

如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线ACBD相交于O，∠ACD=60°，点S， P，Q分别是OD，OA，BC的中点。

（1）求证△PQS是等边三角形； （2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面积； （3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）如图，连接SC、PB ∵ABCD是等腰梯形 ∴AD=BC 又∵AC，BD相交于O ∴AO=BO，CO=DO ∵∠ACD=60° ∴△OCD与△OAB均为等边三角形 ∵S是OD的中点 ∴CS⊥OD 在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线 ∴SQ=BC 同理BP⊥AC，在Rt△BPC中PQ=BC SP是△OAD的中位线 ∴SP=AD=BC ∴SP=PQ=SQ ∴△SPQ是等边三角形； （2）∵AB=5，DC=3 ∴SB=DO+OB=+5= CS是等边△DCO的高 ∴CS= 在Rt△BSC中BC2= ∴△SPQ的边长SQ=BC= ∴=; （3）设上底CD=a，下底AB=b（a<b） 由（2）知BC2=SC2+BS2=                                      =a2+b2+ab ∴=（a2+b2+ab） 又△CDO与△ADO是高相等的三角形 ∴ ∴=a2×=ab ∵ ∴8×（a2+b2+ab）=7×ab 即2a2-5ab+2b2=0 ∴（2a-b）（a-2b）=0 又b>a∴2a=b ∴=2 ∴上底与下底之比为。

据专家权威分析，试题“如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线ACBD相交于O，∠ACD=60°，点..”主要考查你对  等边三角形，三角形的周长和面积，勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形三角形的周长和面积勾股定理

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)