题文

如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°。 （1）求∠AOC的度数； （2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长； （3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA ∴△ACO是等边三角形 ∴∠AOC=60° （2）∵CP与⊙O相切，OC是半径 ∴CP⊥OC ∴∠P=90°-∠AOC=30° ∴PO=2CO=8； （3）如图， ①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1 易得，∠AOM1=60° ∴×60°=， ∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为，  ②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2， 易得=S△CAO ∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60° ∴或 ∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为， ③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3， 易得=S△CAO ∴∠BOM3=60°， ∴或 ∴当点M运动到M3时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为，  ④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO=S△CAO， 此时点M经过的弧长为或。

据专家权威分析，试题“如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°。（1）求∠A..”主要考查你对  等边三角形，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），弧长的计算   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）弧长的计算

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

• 直线与圆的位置关系:
  直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
  （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；
  （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。
  （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。（d为圆心到直线的距离）

• 直线与圆的三种位置关系的判定与性质：
  （1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，