题文

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3，0），连接BC。

（1）求证：△ABC是等边三角形； （2）点P在线段BC的延长线上，连接AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点E，分别连接EA、EC、EP。 ①若CP=6，直接写出∠AEP的度数； ②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP的度数； （3）在（2）的条件下，若P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度EC与AP交于点F，设△AEF的面积为S1，△CEP的面积为S2，y=S1-S2，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）如图（1） ∵一次函数的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B（0，3） ∵C（3，0） ∴OA=OC 又y轴⊥AC， ∴AB=BC 在Rt△AOB中，tan∠BAO=BO/AO= ∴∠BAC=60° ∴△ABC是等边三角形；
（2）解：①∠AEP=20°， ②如图（2）， 作EH⊥CP于点H， ∵y轴垂直平分AC，△ABC是等边三角形， ∴EA=EC，∠BEA=∠BEC=∠AEC，∠EBP=30°， ∴∠BEH=60°， ∵ED垂直平分AP， ∴EA=EP， ∴EA=EC=EP， ∴EH垂直平分CP， ∴在△CEP中，∠CEH=∠PEH=∠PEC， ∵∠BEH=∠BEC+∠CEH=∠AEC+∠PEC=60°， ∴∠AEP=∠AEC+∠PEC=120°； （3）如图（2），作PC⊥x轴于点G， 在Rt△PGC中，PC=t，CG=t/2，PG=t， 在Rt△BEH 中，EH= ∴  又y =S1-S2=（S1+S△ACF）-（S2+S△ACF） =S△EAC-S△PAC， S△EAC=AC·EO=， S△PAC=AC·PG=， ∴。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y..”主要考查你对  等边三角形，一次函数的图像，求一次函数的解析式及一次函数的应用，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形一次函数的图像求一次函数的解析式及一次函数的应用垂直平分线的性质

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。