题文

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S，D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE2=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S。 （1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2， ①求证：△D2E2F2是等边三角形； ②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=_______；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=______； （2）按照上述思路探索下去，并填空： 当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=AB时，（n为正整数）△DnEnFn是 三角形； 若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn=_______； 若用S表示△DnEnFn的面积Sn′，则S′n=________。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）①∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°， 由已知得AD2=AB，BE2=BC，CF2=AC， ∴AF2=AC，BD2=AB， ∴AD2=BE2，AF2=BD2， △AD2F2≌△BE2D2， ∴D2E2=F2D2， 同理可证△AD2F2≌△CF2E2 F2D2=E2F2， ∴D2E2=E2F2=F2D2， ∴△D2E2F2为等边三角形； ②S2=S；S′2=S； （2）由（1）可知：△DnEnFn等边三角形； 由（1）的方法可知：S2=S，S3=S，…Sn=S； S2′=。

据专家权威分析，试题“如图1，△ABC为等边三角形，面积为S，D1、E1、F1分别是△ABC三边上..”主要考查你对  等边三角形，探索规律，全等三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形探索规律全等三角形的性质

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。