题文

如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F为边AB上一动点，AF=nBF，E为直线BC上一点，且∠EDF=120°．

（1）如图1，当n=2时，求=_________； （2）如图2，当n=时，求证：CD=2CE； （3）如图3，过点D作DM⊥BC于M，当_________，C点为线段EM的中点．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）解：过D作DG∥BC交AB于G，如图1， ∵D是AC的中点， ∴DG为△ABC的中位线， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACD=∠ABC=60°， ∴∠DCE=120°， 又∵DG∥BC， ∴∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD为等边三角形， 而∠EDF=120°， ∴∠GDF=∠CDE， ∴△GDF∽△CDE， ∴FG：CE=DG：DC， 即CE：DC=FG：DG， 而DG=AG=BG，AF=2BF， 设BF=x，AF=2x， 则AB=3x，AG=x，FG=x﹣x=x， ∴CE：DC=FG：DG=FG：AG=x：x=1：3． 故答案为； （2）证明：过D作DG∥AB交AB于G，如图2， 当n=时，则DG为△ABC的中位线， 同（1）一样可证得△GDF∽△CDE， ∴FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG， 而AF=BF，设BF=3x，AF=x， 则AB=4x，AG=2x，GF=x， ∴CE：DC=FG：AG=x：2x， ∴CD=2CE； （3）解：过D作DG∥AB交AB于G，如图3， 由前面可得CE：DC=FG：AG； ∵DM⊥BC， ∴∠MDC=30°， ∴MC=DC， 而C点为线段EM的中点， ∴CE=DC， ∴FG=AG， ∴FG=BG，即F为BG的中点，F为AB的四等分点， ∴AF=3BF， 故答案为n=3．

据专家权威分析，试题“如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F为边AB上一动点，AF=nBF..”主要考查你对  等边三角形，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形相似三角形的性质

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：相似三角形的性质

• 相似三角形性质定理：
  (1)相似三角形的对应角相等。
  (2)相似三角形的对应边成比例。
  (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
  (4)相似三角形的周长比等于相似比。
  (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
  (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方