数学课上,李老师出示了一道题目:在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由。小敏与同桌小聪讨论后,进行-八年级数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 等边三角形/2020-05-20 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

数学课上,李老师出示了一道题目:在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由。小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论:当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE _________ DB(填“>”,“<”或“=”)。
(2)特例启发,解答题目:
题型:解答题  难度:中档

答案

解:(1)E为AB的中点时,AE与DB的大小关系是:AE=DB。
理由如下:∵△ABC是等边三角形,点E是AB的中点,
∴AE=BE;∠BCE=30°,
∵ED=EC,
∴∠ECD=∠D=30°,
又∵∠ABC=60°,
∴∠DEB=30°,
∴DB=BE=AE;
(2)AE=DB。
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,
∵△AEF是等边三角形,AE=EF=AF,
∴BE=CF,
∵ED=EC,
∴∠ECD=∠D,
又∵∠ECF=60°-∠ECD,∠DEB=∠EBC-∠D=60°-∠D,
∴∠ECF=∠DEB,
∴△BDE≌△FEC,(SAS)
∴BD=EF=AE。

据专家权威分析,试题“数学课上,李老师出示了一道题目:在等边三角形ABC中,点E在AB上,..”主要考查你对  等边三角形,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,全等三角形的性质,三角形全等的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等边三角形等腰三角形的性质,等腰三角形的判定全等三角形的性质三角形全等的判定

考点名称:等边三角形

  • 等边三角形定义:
    三条边都相等的三角形叫做等边三角形,“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
    如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形:
    1.三边长度相等;
    2.三个内角度数均为60度;
    3.一个内角为60度的等腰三角形。

  • 性质:
    ①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
    ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
    ③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
    ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
    ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

  • 判定方法:
    ①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
    ②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
    ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
    ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
    说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质与判定理解:
    首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
    其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。

    等比三角形的尺规做法:
    可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

  • 定义:
    有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质:
    1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
    2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
    7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定:
    1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
    3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称:全等三角形的性质

  • 全等三角形:
    两个全等的三角形,而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换,两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称,或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时,该两个三角形就是全等三角形。正常来说,验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证,最后便能得出结果。
    全等三角形的对应边相等,对应角相等。
    ①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
    ②全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;
    ③有公共边的,公共边一定是对应边;
    ④有公共角的,角一定是对应角;
    ⑤有对顶角的,对顶角一定是对应角。

  • 全等三角形的性质:
    1.全等三角形的对应角相等。
    2.全等三角形的对应边相等。
    3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
    4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
    5.全等三角形的对应边上的中线相等。
    6.全等三角形面积相等。
    7.全等三角形周长相等。
    8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

  •  

考点名称:三角形全等的判定

  • 三角形全等判定定理:
    1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了
    三角形具有稳定性的原因。
    2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
    3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
    4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
    5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以:SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
    注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

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