题文

如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作，将一块直角三角板的直角顶点P放置在（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，并设PQ=x，以下我们对△CPQ进行研究． （1）△CPQ能否为等边三角形？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由； （2）求△CPQ周长的最小值； （3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时分别求x的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）假设△CPQ为等边三角形时， 一方面x=BQ=PQ=CQ=， 另一方面，连接AQ， ∵∠PAQ=30°，∠APQ=90°， ∴∠AQP=60°， ∵∠PQC=60°， ∴∠AQB=60°， ∴∠BAQ=30°， ∴tan∠BAQ=tan30°=， ∴x=， ∴得出自相矛盾； ∴△CPQ不能为等边三角形． （2）△CPQ的周长=PQ+QC+CP=BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC； 又∵PC≥AC﹣PA=﹣1， ∴△CPQ的周长≥1+﹣1=， P运动至点P0时，△CPQ的周长最小值是． （3）连接AC，交于P0，则P0Q=BQ=x，∠P0CQ=45°，∠CP0Q=90°； ∴P0Q=BQ=x=﹣1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°． ①当P在上运动时， ∵∠APQ=90°， ∴0°＜∠CPQ＜90°， 此时△CPQ是锐角三角形，x＞﹣1． ②当P与P0重合时，∠CPQ=90°，此时△CPQ是直角三角形，x=﹣1． ③当P在上运动时， ∵∠APC＜180°，∠APQ=90°， ∴90°＜∠CPQ＜180°， 此时△CPQ是钝角三角形，x＜﹣1.

据专家权威分析，试题“如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作，将一块直角..”主要考查你对  等边三角形，三角形的周长和面积，圆心角，圆周角，弧和弦  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形三角形的周长和面积圆心角，圆周角，弧和弦

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：三角形的周长和面积

• 三角形的概念：
  由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  
  构成三角形的元素：
  边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
  顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；