题文

如图，已知：△ABC为等边三角形，D、F分别为射线BC、射线AB边上的点，BD=AF，以AD为边作等边△ADE． （1）如图①所示，当点D在线段BC上时： ①试说明：△ACD≌△CBF；②判断四边形CDEF的形状，并说明理由； （2）如图②所示，当点D在BC的延长线上时，判断四边形CDEF的形状，并说明理由． （3）当点D在射线BC上移动到何处时，∠DEF=30°，并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）①∵△ABC、△ADE是等边三角形， ∴∠ACD=∠B=∠BAC=60°，∠ADE=60°，AD=DE，AC=BC=AB， ∵BD=AF， ∴CD=BF， ∵在△ACD和△CBF中， AC=BC ∠ACD=∠B CD=BF ， ∴△ACD≌△CBF（SAS）， ②判断四边形CDEF的形状是平行四边形，理由是： ∵△ACD≌△CBF， ∴∠BCF=∠DAC，AD=CF， ∵AD=DE， ∴DE=CF， ∵∠ACD=∠ADE=60°，∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠ACD+∠DAC， ∴60°+∠DAC=60°+∠BDE， ∴∠DAC=∠BDE， ∵∠BCF=∠DAC， ∴∠BDE=∠BCF， ∴DE∥CF， ∵DE=CF， ∴四边形CDEF的形状是平行四边形； （2）四边形CDEF的形状是平行四边形， 理由是：∵∠ACB=∠ABC=60°， ∴∠ACD=∠FBC=120°， ∵BD=AF，BC=AB， ∴CD=BF， ∵在△FBC和△DCA中， BC=AC ∠FBC=∠DCA BF=CD ， ∴△FBC≌△DCA（SAS）， ∴∠DAC=∠BCF，FC=AD， ∵AD=DE， ∴FC=DE， ∵∠ACB=60°=∠DAC+∠ADC=∠BCF+∠ADC， ∠ADE=60°=∠ADC+∠CDE， ∴∠BCF=∠EDC， ∴CF∥DE， ∵FC=DE， ∴四边形CDEF是平行四边形； （3）点D在边BC的中点上时，∠DEF=30°， 理由是：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵点D在边BC的中点上， ∴∠DAC= 1 2 ∠BAC=30°， ∴∠BCF=∠DAC=30°， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴∠DEF=∠DCF=30°， 即点D在边BC的中点上时，∠DEF=30°．

据专家权威分析，试题“如图，已知：△ABC为等边三角形，D、F分别为射线BC、射线AB边上的点..”主要考查你对  等边三角形，平行四边形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形平行四边形的判定

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：平行四边形的判定

• 平行四边形的判定：
  （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
  （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
  （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
  （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
  （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
  平行四边形的面积：S=底×高。