题文

已知点D是等边△ABC的边BC上一点，以AD为边向右作等边△ADF，DF、AC交于点N． （1）如图①，当AD⊥BC时，请说明DF⊥AC的理由； （2）如图②，当点D在BC上移动时，以AD为边再向左作等边△ADE，DE、AB交于M，试问线段AM和AN有什么数量关系？请说明你的理由； （3）在（2）的基础上，若等边△ABC的边长为2，直接写出DM+DN的最小值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴∠CAD= 1 2 ×60°=30°， 又∵△ADF是等边三角形， ∴∠DAF=30°， ∴∠DAN=∠FAN=30°， ∴AN⊥DF， 即DF⊥AC； （2）AM=AN． 理由如下：如图，连接AD， ∵△ADE、△ADF是等边三角形， ∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AF， ∵∠DAM+∠CAD=60°， ∠FAN+∠CAD=60°， ∴∠DAM=∠FAN， 在△ADM和△AFN中， ∠DAM=∠FAN AD=AF ∠ADE=∠ADF ， ∴△ADM≌△AFN（ASA）， ∴AM=AN； （3）根据垂线段最短，DM⊥AB、DN⊥AC时，DM、DN最短， 设等边△ABC的高线为h， 则S△ABC= 1 2 AC?h= 1 2 AB?DM+ 1 2 AC?DN， ∵AB=AC， ∴DM+DN=h， ∵等边△ABC的边长为2， ∴h=2× 3 2 = 3 ， ∴DM+DN的最小值为 3 ．

据专家权威分析，试题“已知点D是等边△ABC的边BC上一点，以AD为边向右作等边△ADF，DF、A..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。