题文

在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接 BD、CD、CE，且∠BDA=60° ①求证：△BDE是等边三角形； ②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想； ③在②的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积．

题型：解答题  难度：中档

答案

①证明：如图，在圆中∠ACB=∠BDA=60°， ∴∠ABC+∠BAC=120°， 又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线， ∴∠BED=∠ABE+∠BAE= 1 2 （∠ABC+∠BAC）=60°， ∴△BDE是等边三角形． ②四边形BDCE是菱形． 证明：∵∠BDC=120°，∠BDA=60°， ∴∠ABC=∠ADC=60° ∵BE是∠ABC的角平分线，△BDE是等边三角形， ∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE， ∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF， ∴△BFD≌△CFD， ∴BF=CF， ∴DE垂直平分BC， 因此四边形BDCE是菱形． ③由∠ABC=∠ADC=60°，∠ACB=∠ADB=60°，AE是∠BAC的角平分线， 可得∠CAD=30°，AD为圆的直径，CD=CE=4， ∴AD=2CD=8，AC=4 3 因此S四边形ABDC=2×（4×4 3 × 1 2 ）=16 3 ．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的..”主要考查你对  等边三角形，菱形，菱形的性质，菱形的判定，圆心角，圆周角，弧和弦  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形菱形，菱形的性质，菱形的判定圆心角，圆周角，弧和弦

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：菱形，菱形的性质，菱形的判定

• 菱形的定义:
  在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

• 菱形的性质:
  ①菱形具有平行四边形的一切性质；
  ②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；
  ③菱形的四条边都相等；
  ④菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其重心，即两对角线的交点）；
  ⑤在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。

• 菱形的判定:
  在同一平面内，
  （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
  （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
  （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
  菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
  菱形的面积：S_菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。

考点名称：圆心角，圆周角，弧和弦

• 圆的定义:
  在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。
  
  弧：
  圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
  弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
  优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；
  劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）
  圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 
   弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。