如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE,连接EF.(1)试探索EF与AB位置关系,并证明;(2)如图2,当-数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 等边三角形/2020-05-20 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE,连接EF.
(1)试探索EF与AB位置关系,并证明;
(2)如图2,当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论是否成立?请说明理由.
(3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=m°,P为BC延长线上一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE,使得PC=PF,PQ=PE,连接EF.要使(1)的结论依然成立,则需要添加怎样的条件?为什么?


题型:解答题  难度:中档

答案

(1)EF⊥AB.
∵△PCF和△PQE都是等边三角形,
∴PF=PC,PE=PQ,
∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°,
∴∠EPF=∠QPC,
∴△PFE≌△PCQ;
∴∠EPF=∠QPC=90°,
∴EF⊥PF;
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°;
又∵∠FPC=60°,
∴∠B=∠FPC,
∴PF∥AB(同位角相等,两直线平行),
∴EF⊥AB;

(2)当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论成立.
证明:∵△PCF和△PQE都是等边三角形,
∴PF=PC,PE=PQ,
∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°,
∴∠EPF=∠QPC,
∴△PFE≌△PCQ;
∴∠EFP=∠QCP=90°,
∴EF⊥PF;
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°;
又∵∠FPC=60°,
∴∠B=∠FPC,
∴PF∥AB(内错角相等,两直线平行),
∴EF⊥AB;

(3)要使(1)的结论依然成立,则需要添加条件是:∠CPF=∠B=∠QPE.
需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB(内错角相等,两直线平行),才能证明EF⊥AB.

据专家权威分析,试题“如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,点Q为..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等边三角形

考点名称:等边三角形

  • 等边三角形定义:
    三条边都相等的三角形叫做等边三角形,“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
    如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形:
    1.三边长度相等;
    2.三个内角度数均为60度;
    3.一个内角为60度的等腰三角形。

  • 性质:
    ①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
    ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
    ③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
    ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
    ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

  • 判定方法:
    ①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
    ②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
    ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
    ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
    说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质与判定理解:
    首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
    其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。

    等比三角形的尺规做法:
    可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

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