题文

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE，连接EF． （1）试探索EF与AB位置关系，并证明； （2）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论是否成立？请说明理由． （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）EF⊥AB． ∵△PCF和△PQE都是等边三角形， ∴PF=PC，PE=PQ， ∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°， ∴∠EPF=∠QPC， ∴△PFE≌△PCQ； ∴∠EPF=∠QPC=90°， ∴EF⊥PF； 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°； 又∵∠FPC=60°， ∴∠B=∠FPC， ∴PF∥AB（同位角相等，两直线平行）， ∴EF⊥AB； （2）当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论成立． 证明：∵△PCF和△PQE都是等边三角形， ∴PF=PC，PE=PQ， ∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°， ∴∠EPF=∠QPC， ∴△PFE≌△PCQ； ∴∠EFP=∠QCP=90°， ∴EF⊥PF； 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°； 又∵∠FPC=60°， ∴∠B=∠FPC， ∴PF∥AB（内错角相等，两直线平行）， ∴EF⊥AB； （3）要使（1）的结论依然成立，则需要添加条件是：∠CPF=∠B=∠QPE． 需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB（内错角相等，两直线平行），才能证明EF⊥AB．

据专家权威分析，试题“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。