如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE,连接EF.(1)试探索EF与AB位置关系,并证明;(2)如图2,当-数学
题文
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE,连接EF. (1)试探索EF与AB位置关系,并证明; (2)如图2,当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论是否成立?请说明理由. (3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=m°,P为BC延长线上一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE,使得PC=PF,PQ=PE,连接EF.要使(1)的结论依然成立,则需要添加怎样的条件?为什么? ![]() |
答案
(1)EF⊥AB. ∵△PCF和△PQE都是等边三角形, ∴PF=PC,PE=PQ, ∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°, ∴∠EPF=∠QPC, ∴△PFE≌△PCQ; ∴∠EPF=∠QPC=90°, ∴EF⊥PF; 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°; 又∵∠FPC=60°, ∴∠B=∠FPC, ∴PF∥AB(同位角相等,两直线平行), ∴EF⊥AB; (2)当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论成立. 证明:∵△PCF和△PQE都是等边三角形, ∴PF=PC,PE=PQ, ∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°, ∴∠EPF=∠QPC, ∴△PFE≌△PCQ; ∴∠EFP=∠QCP=90°, ∴EF⊥PF; 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°; 又∵∠FPC=60°, ∴∠B=∠FPC, ∴PF∥AB(内错角相等,两直线平行), ∴EF⊥AB; (3)要使(1)的结论依然成立,则需要添加条件是:∠CPF=∠B=∠QPE. 需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB(内错角相等,两直线平行),才能证明EF⊥AB. |
据专家权威分析,试题“如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,点Q为..”主要考查你对 等边三角形 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
等边三角形
考点名称:等边三角形
- 等边三角形定义:
三条边都相等的三角形叫做等边三角形,“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形:
1.三边长度相等;
2.三个内角度数均为60度;
3.一个内角为60度的等腰三角形。 性质:
①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法:
①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
等边三角形的性质与判定理解:
首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。等比三角形的尺规做法:
可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
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