题文

题目：如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC．由已知易证△ABE≌△ADC，得BE=DC． 扩变： 1．如图2，若△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，∠D=∠E=90°，那么 BE=DC吗？ 2．如图3，若四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，（1）那么 BE=DC还成立吗？（2）BE⊥DC． 3．如图4，若点A在线段BC上，△ABD，△AEC都是等边三角形，那么BE=DC吗？ 4．在3题的条件下，若AD与BE交于F点，AE与CD交于G点，如图5． （1）AF=AG吗？ （2）△AFG是等边三角形吗？为什么？

题型：解答题  难度：中档

答案

1．BE≠DC．理由如下： ∵△ABD，△AEC都是等腰直角三角形， ∴AB= 2 AD，AC= 2 AE，∠DAB=∠EAC=45°， ∴∠DAC=∠BAE， ∴△ABE和△ADC不全等， ∴BE与DC不相等． 2．（1）BE=DC成立．理由如下： ∵四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°， ∴∠DAC=∠BAE， 在△ABE和△ADC中 AB=AD ∠BAE=DAC AE=AC ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE=DC； （2）BE⊥DC．理由如下：AC与BE相交于N点， ∵△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD，而∠BNC=∠ANE． ∴∠ACD+∠BNC=∠AEB+∠ANE=90°， ∴BE⊥DC； 3．BE=DC．理由如下： ∵△ABD，△AEC都是等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAC=∠BAE， 在△ABE和△ADC中 AB=AD ∠BAE=DAC AE=AC ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE=DC； 4．（1）AF=AG．理由如下： ∵△ABE≌△ADC， ∴∠ABE=∠ADC． 在△ABF和△ADG中 AB=AD ∠BAF=∠DAG ∠ABF=∠ADG ， ∴△ABF≌△ADG（ASA）， ∴AF=AG． （2）△AFG是等边三角形．理由如下： ∵AF=AG， 而∠DAE=60°， ∴△AFG是等边三角形．

据专家权威分析，试题“题目：如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC．由已知易证△..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。