题文

如图，点M，N分别在等边三角形ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q． （1）求证：∠BQM=60°． （2）思考下列问题： ①如果将原题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的新命题是否仍是真命题？ ②如果将原题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ ③如果将题中“等边三角形ABC”，改为“等腰直角三角形ABC，且∠BAC=90°”，是否仍能得到∠BQM=60°？ 请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①______；②______；③______； 并选择其中一个真命题给出证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠C=60° ∵在△ABM和△BCN中， AB=BC ∠ABC=∠C BM=CN ， ∴△ABM≌△BCN， ∴∠NBC=∠BAM， 又∵∠NBC+∠ABN=60°， ∴∠BAM+∠ABN=60°， 即∠BQM=60°； （2）①是；②是；③否， 选②， 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°， ∴∠BAN=∠ACM=120°， ∵CN=BM，BC=AC， ∴AN=CM， ∵在△ABN和△CAM中， AN=CM ∠BAN=∠ACM AB=AC ， ∴△ABN≌△CAM， ∴∠M=∠N，∠NAQ=∠CAM， 又∵∠CAM+∠M=∠ACB=60°，∠NAQ=∠CAM， ∴∠N+∠NAQ=60°， 即∠BQM=60°， 故答案为：是，是，否．

据专家权威分析，试题“如图，点M，N分别在等边三角形ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM，BN..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。