题文

如图，点M，N分别在等边△ABC的BC，CA边上，直线AM，BN交于点Q，且∠BQM=60°． （1）求证：BM=CN； （2）若将题中的点M，N分别移到BC，CA的延长线上，其他条件都不变，是否任能得到BM=CN？请画出图形加以证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABM=∠C=60°，AB=BC（2分） 又∠ABQ+∠BAQ=∠BQM=60° ∠ABQ+∠CBN=∠ABM=60° ∴∠BAQ=∠CBN（3分） ∴△ABM≌△BCN（ASA）（4分） ∴BM=CN（全等三角形对应边相等）（5分） （2）仍能得到BM=CN，如图所示．证明如下：（6分） ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC（7分） 又∠M+∠MAC=∠ACB=60° ∠N+∠NAQ=∠BQM=60° 而∠MAC=∠NAQ（对顶角相等） ∴∠M=∠N（8分） ∴△ABM≌△BCN（AAS）（9分） ∴BM=CN（全等三角形对应边相等）．（10分）

据专家权威分析，试题“如图，点M，N分别在等边△ABC的BC，CA边上，直线AM，BN交于点Q，且..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。