题文

已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P． （1）当△ABC为等边三角形（如图1）时，求证：EP=DP； （2）当△ABC不是等边三角形，但∠ACB=60°（如图2）时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）∵△ABC为等边三角形，AD平分∠CAB，∴PD⊥BC，（1分） 同理，PE⊥AC， 作PH⊥AB于H，（1分） ∵AD平分∠CAB，PE⊥AC，∴PE=PH（1分） 同理PD=PH ∴PD=PE（1分） （2）EP=DP依然成立．（1分） 证明：不妨设∠CAB＜∠CBA 作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q， 则点H在线段CE上，点M在线段BD上 ∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P，∴PH=PQ=PM，（1分） ∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，∠ACB=60°， ∴∠CAB+∠ABC=120°，（1分） ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC， ∴∠PAB+∠PBA=60°，（1分） ∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°， ∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°， ∴∠CEP=∠ADB，（1分） 在△PHE和△PMD中，∠HEP=∠MDP，∠EHP=∠DMP=90°，PH=PM， ∴△PHE≌△PMD，（1分） ∴PE=PD （不同方法请相应给分）

据专家权威分析，试题“已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P．（1）当△ABC为等..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。