题文

如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D，E，F，得△DEF．若△ABC的边长为a． （1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积． （3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点， ∴DE= 1 2 AC，DF= 1 2 BC，EF= 1 2 AB， ∵等边三角形ABC， ∴△DEF是等边三角形， ∴△DEF与△ABC相似，相似比是 1 2 ， （2）S△ABC= 1 2 ×a× 3 2 a= 3 4 a2， S△DEF= 1 2 × 1 2 a× 3 4 a2= 3 16 a2． （3）两个三角形的面积比为1：4，边长之比为1：2， 三角形的面积比等于边长之比的平方．

据专家权威分析，试题“如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D，E，F，得△DEF．若△ABC的边..”主要考查你对  等边三角形，三角形中位线定理，勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形三角形中位线定理勾股定理

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)